【教学论文】 基于“理解”观点的数学概念教学

 在实际教学中，忽视“理解”的现象仍然相当普遍。比如，“快讲快练”被奉为法宝，还没有给学生呈现充分丰富的数学材料，老师就给出数学概念，更有甚者直接让学生通过死记硬背去学习数学概念。又比如，老师虽然重视理解，但方式单一，使得学生的理解只停留在表层阶段，而无法触及本质。虽然忽视“理解”有时也能取得一定的教学效果，但这样的效果只能是短期的，无法促进学生数学能力与思维的可持续发展。下面笔者谈谈基于“理解”观点的数学概念教学。

一、分析类别，确定“理解”的重点    

教师首先要对概念的属性特征进行解读，明确概念的类别，方能在概念教学中做到有的放矢。根据概念的具体特征，数学概念一般被分为以下几类。

元素性概念：反映不同层次的数、式、方程、函数、图形等基本的数学元素，它们是数学学科的基本单元，数学中多数概念均属于此类。

操作性概念：对数学基本元素进行某种操作活动的概念，如对数式等进行加减乘除运算，对图形进行镜像、平移、旋转、位似等变换。

属性性概念：反映具体数学元素内部所具有的某种属性，如函数的周期性、单调性、奇偶性、连续性等。

关系性概念：反映两个或两个以上数学基本元素之间的某种联系，如整除、大小、相等、相反数、平行、垂直、全等、相似、互为相反数、等价、包含等。

度量性概念：比较两个事物某个方面的差异，并对该方面的差异进行量化，如长度、面积、体积等。

二、建立联系，生成“理解”的表征

奥苏贝尔认为，数学有意义学习的实质是“数学的语言或符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当知识建立非人为的实质性的联系”。杜威则明确指出：“要理解事物，就要用联系的观点来看待它。”数学概念尽管从表面来看形态各异，但从根本上看，它们都是由一种或多种联系所构成的关联物，其基本的联系形式不外乎这样几种：数学符号之间的联系，数学知识之间的联系，数学活动过程之间的联系，以及现实世界与数学世界之间、数学世界与人的主观世界之间的联系等。通过建立联系，实现数学概念表征的多元化。概念多元表征可以促进学生的多角度理解，从而容易透过表征发现本质。多角度、全面地看问题，远比从一个角度看更透彻。

三、螺旋上升，厘清“理解”的层次    

人的认识一般经历这样三个层次：第一层次，感性的具体，即混沌的、整体的表象；第二层次，理性的抽象，或者说思维的片面的规定性；第三层次，理性的具体，也就是许多规定的综合和多样性的统一。简而言之，就是经历“具体到抽象到具体”。在这一过程中，思维从具体出发，经过抽象，最后又回到了具体，表面看好像是回到了起点，但实质上是达到一个更高阶段。这里的两个具体存在着很大的差异，前者是现实中的具体，而后者是思维中的具体。但它们之间也存在着共性，与抽象相比，它们都具有整体性、非逻辑性、不确定性等性质。这一过程反映了人类的理解是一个由“感性具体”到“理性抽象”再到“理性具体”的否定之否定的辩证过程。

四、赋予意义，凸显“理解”的本质

数学知识通常是由抽象的数学符号组成的数学语言体系，因此，要真正理解数学的本质，就不能仅仅局限于对数学符号的形式的理解，而应该理解数学符号所体现的数学意义。从理解者的角度来说，即是要赋予所理解的数学对象以数学意义。建构主义明确指出，理解应被看成一个“意义赋予”的过程，即主体依据自身已有的知识和经验建构出外部世界的意义的过程。因此，在数学概念教学中，如果无法对数学概念赋予一定的“意义”，比如代数意义、几何意义、物理意义、现实意义等，那么学生最多只能达到识记性理解或工具性理解的层次，而不可能达到关系性理解的层次。

“为理解而教，为理解而学”，这才是数学概念教学的核心任务。正如数学教育家卡彭特和利让在《理解性的数学学习与教学》中所建议的那样：为了培养二十一世纪的具有数学素养的公民，课堂需要被重新建构，从而实现理解性的数学学习。

存瑞中学数学组     富景晨