【设计与实录】 角的平分线的性质教学设计

陈   红

指导思想与理论依据

著名数学家波利亚曾说过：“学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深、也最容易掌握其中的规律、性质和联系”．《数学课程标准》中也指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程．认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式．学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”．本课是一节图形性质的探究学习，知识的综合性较强，思维含量较大，结合波利亚和《数学课程标准》的理念，教师设置一系列问题串，引发学生的数学思考，启发学生的思维．

维果斯基的“最近发展区”理论指出：“教学必须考虑到儿童已达到的水平并走在儿童发展的前面”．教学可以说“创造”着学生的发展，决定着学生发展的水平、速度和内容．在本节课的探究过程中，始终围绕学生的“最近发展区”设置问题，以思考和相互交流的形式分析和解决问题，学生通过动手操作、观察、实验、探究，解决问题，从而完成对知识的自我建构．

教学内容：本节课选自人教版数学八年级上册《全等三角形》第三节的内容，是全等三角形知识的运用和延续．

角的平分线的性质是一节性质探究课，是初中阶段几何学习的重要内容，为以后研究图形的性质提供了重要的思路和方法，学生能够从本节课的探究过程中，逐步感受“一个图形”与“所有满足特点条件的点”之间的关系，从不同的角度认识角平分线，体会其中的集合思想．学生探究这类问题，缺少认知基础和活动经验，教师通过创设实际情境，使学生逐步掌握探究方法，在探究的过程中逐步体会这种集合思想以及条件的充分性和必要性．命题证明是初中几何的重要组成部分，是培养学生思维严谨的重要载体．文字语言、图形语言、符号语言三种表述方式之间的转化是命题证明过程中的重要环节，本节课虽不要求命题证明的方法归纳，但也要让学生体会证明的过程，为下节课角的平分线的判定做准备。所以本节课教师设计一系列学生活动，帮助学生突破这一难点。

教学方式：独学、小组合作学习法

教学目标：知识与技能：探索并证明角的平分线的性质定理；感受将文字语言转化成图形语言和符号语言的过程并会证明；能从两个方面认识“一个图形”与“所有满足条件的点”之间的关系，渗透集合思想．

过程与方法：从实际情境中抽象出数学模型，使学生在解决类似问题的时候获得研究经验，并能够利用获得的研究方法，类比探究出角的平分线的性质；在不断变化的情景中，体会由一般到特殊的研究方法；感受将文字语言，图形语言改写成符号语言的过程，在这一过程中，提升学生的严谨性和表述能力．

情感态度价值观：充分联系生活实际，提升探究问题的兴趣，激发学习数学的热情；在解决问题的过程中，感悟数学知识之间的内在联系，感受学习数学的价值．

教学难点：发现并证明角的平分线的性质

教学重点：探究角的平分线的性质，能够利用其解决相关的简单问题。

教学过程：

一．创设情境，引入新课

情境1：端午节是我们国家的传统节日，人们吃粽子，划龙舟来庆祝．在龙舟比赛中，为了明确船行驶的方向，通常在河面上放置一些浮标．若河的两岸互相平行，最中间一排浮标的位置是如何确定的？ 如果也看成一条直线，那么三条直线的位置关系如何？若每一个浮标看成一个点，那么这个点到直线的距离是什么？这个点到两条互相平行的直线的距离有什么关系？

师生活动：学生观看图片后，从实际情境中抽象出数学问题，画出图形，如图，并确定浮标的位置．教师适当追问，引导学生分析“中间的线”“到两平行线距离相等的点”之间的关系，明确应从两个角度去探究问题．

问题1：最中间的直线满足什么条件？

问题2：到两平行线的距离相等的点有什么规律？

问题3：你能提出关于两平行线间的“中间的线”的哪些猜想？

猜想1：两平行线间“中间的线”上的点到两平行线的距离相等．

猜想2：到两平行线距离相等的点在“中间的线”上．

追问：你能通过作图的方式，画出“中间的线”吗？

【活动1】画出两平行线间的“中间的线”并简要记录画图步骤．

设计意图：通过中国传统文化赛龙舟，设计浮标这一实际情境引入，激发了学生的学习兴趣；借助情境，学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程，从更易于学生理解的平行线间“中间的线”开始探究起，并复习学生遗忘的点到直线距离的定义，逐步分析出两个猜想，既要研究直线上所有的点都满足一定条件，还要研究满足特定条件的所有的点都在直线上，既为下一个环节探究角的平分线的性质做了铺垫，又让学生获得一定的研究经验．

二．类比探究，提出猜想

 情境2：如果河的两岸不平行，则抽象成一个角，这时你还能找到中间的线么？

问题1：当两直线不平行时，“中间的线”还存在吗？它有名字吗？

问题2：角的平分线有与“中间的线”相类似的性质吗？

【活动2.1】提出猜想．

类比两平行线间“中间的线”的猜想，提出角的平分线的两条猜想：猜想——角的平分线上的点到角的两边的距离相等；

设计意图：情境由两条平行的直线变为一个角，学生能够在这种特殊到一般的变化中，主动的运用类比的方法，较为顺利地提出对角的平分线的性质的两条猜想．

三．动手操作，验证猜想

【活动2.2】验证猜想．

在纸上做一个角，用量角器量出角的度数并做出这个角的平分线，在角的平分线上任取一点P，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长度。进而发现：猜想——角的平分线上的点到角的两边的距离相等；应该是正确的

设计意图：与预习案中的问题相呼应，预习案中的问题意在让学生感受对于角的平分线上的任意一点到角两边的距离相等。课上这一环节让学生体会角的平分线的性质与角的大小也是无关的，对于任意角都成立，感受角的平分线的性质的特点。

四、证明猜想，得到结论

通过预习掌握学生的学习情况，课上重点纠错，重点交流讲解，给予学生充分的交流、展示时间。

在角的平分线的性质的证明过程中，学生对于已知的书写可能会出现不同的理解．

预设1：已知，如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．求证：PD=PE．

预设2：已知，如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上．求证：PD=PE．

预设3：已知，如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB．求证：PD=PE．

预设4：已知，如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．求证：PD=PE．

学生在将文字改写成符号语言时，对于如何描述距离出现不同的理解，教师引导学生分析几名同学的改写，确定预设1和预设4中的书写是均为恰当的表述．

在掌握原有三角形全等知识的前提下，学生证明出角的平分线的性质应该不是问题。若有问题，课上组内交流解决，对于学生来说应该不是难点。所以课上教师打算利用多媒体呈现完成证明过程，学生自主整理．教师给出文字语言，画出图形，师生共同写出符号语言，强调使用角的平分线的性质解决问题时必须满足三个条件，缺一不可。最终获得通过角的平分线的性质的学习，又多了一种证明两条线段相等的方法

设计意图：学生通过辨析角的平分线的性质的证明过程，得到最为恰当的表述，加深对符号语言的理解与记忆，为后面引出符号语言做铺垫。在这一过程中，一方面增强对角的平分线的性质的理解，同时感受证明一个文字叙述命题的流程，和数学的严谨性．

五、学以致用

交流展示：找出”学以致用”1题的最优解法 （要求：四人小组在组长的带领下讨论 交流，解决不了的问题组间交流）

设计意图：通过课上交流找到解决问题的最优方法，体现出角的平分线的性质的解决问题的优势，感受角的平分线的性质的作用。

本节课的教学重点是角的平分线的两条性质定理的探究、证明以及应用，角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合，为了让学生能够对角的平分线有更加深刻和完整的理解，设计了充分的活动.

六．归纳小结，提升认识

在本节课的探究过程中，你有哪些收获和体会？

       设计意图：通过小结环节，使学生不仅更能够在知识上有所收获，更重要的，是从探究过程和思想方法的角度来提升对本节课的认识．

七、课堂达标检测：

目的检查学习效果，给孩子们成功的喜悦，限时练，老师公布答案，师友互判，当堂出分。评出本节学习能手，给小组加分。

八、布置作业

九、板书设计